Combinar las cebollas, las 2 cucharadas de agua y el azúcar granulada en una sartén grande. Tapar; cocinar a fuego medio, revolviendo ocasionalmente, durante 15 a 20 minutos, agregando agua, una cucharada a la vez, según sea necesario. Cuando las cebollas estén suaves, destapar y continuar cocinando, revolviendo con frecuencia, durante aproximadamente 20 minutos o hasta que las cebollas estén muy suaves y estén doradas. Retirar las cebollas de la sartén a un tazón.

Precalentar el horno a 450 ° F.

Verter 1 cucharada de aceite de oliva en la sartén. Agregar los champiñones en rodajas. Cocinar a fuego medio, revolviendo con frecuencia, durante 4 minutos o hasta que los champiñones se hayan ablandado y estén cubiertos con una salsa marrón.

Combinar la calabaza, el resto de la cucharada de aceite de oliva, el ajo, el tomillo y el comino en una cacerola pequeña. Cocinar a fuego medio, revolviendo ocasionalmente, durante 5 minutos.

Untar la mitad de la mezcla de calabaza sobre una corteza. Agregar 1/2 taza de mozzarella, la mitad de las cebollas caramelizadas, la mitad de los champiñones y la mitad del queso de cabra. Repetir con la corteza restante.

Hornear durante 8 a 10 minutos o hasta que el queso de cabra esté ligeramente dorado y la mozzarella se vea derretida.